設A反對稱,A′＝-A 注意X′AX是一個數(shù),﹙X′AX﹚′＝X′AX
另一方面,﹙X′AX﹚′＝X′A′X′′＝X′﹙-A﹚X＝-X′AX
∴X′AX＝-X′AX X′AX＝0

反之,設對任意n維列向量X,都有X′AX=0設A＝﹙aij﹚
取X′＝﹙0……0 10……0﹚[第i個是1,其他全部是0] X′AX＝aii＝0 說明A的對角元全部是0.
取X′＝﹙﹙0……0 10……0 1 0……0﹚[第i,j個是1,i≠j其他全部是0]
X′AX＝aii+aji+aij+ajj＝aji+aij＝0aji＝-aijA′＝-A A反對稱.