1.證：設(shè)f（x）＝x＋x^2＋x^3＋…＋x^n.
因?yàn)樵冢?,＋∞）區(qū)間,f＇（x）＝1＋2x＋3x^2＋…＋nx^(n－1)＞0,
所以在（0,＋∞）區(qū)間,f（x）單調(diào)遞增.
因?yàn)楫?dāng)x∈（0,1／2］時f（x）＜1,當(dāng)x∈［1,＋∞）時,f（x）＞1,
所以有且僅有一個正實(shí)數(shù)x滿足f（x）＝1,而此正實(shí)數(shù)x∈（1／2,1）.即原方程在（1／2,1）區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實(shí)根.
2.上面已經(jīng)證明,當(dāng)n為任意給定的不小于2的自然數(shù)時,x＋x^2＋x^3＋…＋x^n＝1有且僅有一個正實(shí)根xn,且xn∈（0,1）.
而當(dāng)xn∈（0,1）時,lim(xn＋xn^2＋xn^3＋…＋xn^n)(n→∞)＝xn／(1－xn).
由x＋x^2＋x^3＋…＋x^n＝1得lim(xn＋xn^2＋xn^3＋…＋xn^n)(n→∞)＝1,即xn／(1－xn)＝1,
從而xn＝1／2,即limxn(n→∞)＝1／2.