已知數(shù)列an的前n項和Sn=3^n+t,求證:t=-1是an為等比數(shù)列的充要條件

數(shù)學(xué)人氣：540 ℃時間：2019-10-23 09:37:41

優(yōu)質(zhì)解答

充分性：
若t=-1,那么Sn=3^n-1
a1=S1=3-1=2
當(dāng)n≥2時,an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
上式對n=1也成立
即an=2*3^(n-1)
a(n+1)/an=2*3^n/[2*3^(n-1)]=3
所以{an}為等比數(shù)列,公比為3
必要性:
若{an}為等比數(shù)列,
a1=S1=3+t,
a2=S2-S1=3^2+t)-(3+t)=6
a3=S3-S2=(3^3+t)-(3^2+t)=18
∵{an}為等比數(shù)列
∴a2/a1=a3/a2
即6/(t+3)=18/6=3
∴t+3=2,
t=-1
∴
t=-1是an為等比數(shù)列的充要條件