（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∴y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
∴

3+2a+b=3 3-a=1

，解得

a=2 b=-4

，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，
f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=

2

3

或x=-2．
當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f'（x）的變化如下表：
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙

x	-3	（-3，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)	1
f'（x）		+		-		+
f（x）	8	增	極大值	減	極小值	增	4

∴f（x）的極大值為f（-2）=13，極小值為f(

2

3

)=

95

27

，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值為13．