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  • 橢圓E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2點(diǎn),A(4,m)在橢圓E上,且向量AF2*向量F1F2=0,點(diǎn)D(2,0)到直線F1A的距離DH=18/5

    橢圓E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2點(diǎn),A(4,m)在橢圓E上,且向量AF2*向量F1F2=0,點(diǎn)D(2,0)到直線F1A的距離DH=18/5
    (1)橢圓E的方程
    (2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓E上任意一點(diǎn),求向量PF1*向量PD的取值范圍
    數(shù)學(xué)人氣:336 ℃時(shí)間:2019-10-04 12:41:26
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1) AF2 * F1F2 =0,所以兩向量垂直,
    則F2坐標(biāo)為(4,0),F1坐標(biāo)為(-4,0),c=4,
    橢圓準(zhǔn)線x=+/-a^2/4;
    三角形F1DH相似與三角形F1AF2,則F1H/F1F2 = DH/F2A ; (1)
    F1H=根號(F1D^2-DH^2)=根號(6^2-(18/5)^2)=24/5;
    所以由(1)式得:(24/5)/8=(18/5)/m;得到m=6;
    根據(jù)準(zhǔn)線的性質(zhì)可得:a^2/4-4=6 ,所以a=2倍的根號10;
    則b=根號(a^2-c^2)=2倍的根號6;
    所以橢圓E的方程為:x^2/40+y^2/24=1;
    (2) 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),設(shè)M=PF1 * PD=(x+4,y)*(x-2,y)=x^2+2x-8+y^2;
    則M=x^2+2x-8+y^2=x^2+2x-8+(24-3x^2/5)
    =2x^2/5+2x+16 (x大于等于-2倍的根號10,小于等于2倍的根號10)
    在二次函數(shù)的對稱軸x=-2.5上取的最小值Mmin=17/2;
    在x=2倍的根號10時(shí)取得最大值Mmax=32+4倍的根號10.
    綜上:取值范圍是 17/2
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