設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù),f(a)=f(b),試證,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)§,使得f"(§)=2f'(§)/(b-§)

數(shù)學(xué)人氣：475 ℃時(shí)間：2019-09-27 20:11:16

優(yōu)質(zhì)解答

令g(x)=(x-b)^2*f'(x)
則g(b)=0
存在c∈(a,b)使得f'(c)=0,則g(c)=0
所以存在§∈(c,b)（則§∈(a,b)）使得g'(§)=0
即(§-b)^2*f''(§)+2(§-b)f'(§)=0
即f''(§)=2f'(§)/(b-§)能說(shuō)下怎么想到構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的嘛一看就知道要用中值定理，要找一個(gè)函數(shù)g使得g'(x)=0可以推出那個(gè)要證的式子。我就反過(guò)來(lái)從那個(gè)式子解常微分方程(§-b)*f''(§)+2f'(§)=0，然后就解出來(lái)(§-b)^2*f'(§)=C（常數(shù)），就令g(x)=(x-b)^2*f'(x)。好的，謝謝