f''(x)在[-a,a]上連續(xù),∴f''(x)在[-a,a]上能取到最大值和最小值,
設(shè)該最大值為A,該最小值為B,則A≤f''(x)≤B,x∈[-a,a]
則∫[0,x]Adt≤∫[0,x]f''(t)dt≤∫[0,x]Bdt,x∈[-a,a]
=>Ax≤f'(x)-f'(0)≤Bx
=>Ax+f'(0)≤f'(x)≤Bx+f'(0)
再?gòu)?到x積分得
Ax²/2+f'(0)x≤f(x)-f(0)≤Bx²/2+f'(0)x,∵f(0)=0
所以上式對(duì)x從-a到a積分得
a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3,即
a³A≤3∫[-a,a]f(x)dx≤a³B
∴3∫[-a,a]f(x)dx∈[a³A,a³B]
而[a³A,a³B]為連續(xù)函數(shù)a³f''(x)在[-a,a]上的值域
∴由介值定理知存在ε∈[-a,a],使得a³f''(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx上式對(duì)x從-a到a積分得a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3，這一步f'(0)怎么等于0了？這是一個(gè)常數(shù)啊f'(0)x 從-a到a積分 不是等于0嗎