用微分中值定理不行嗎?
由f(x)在[0,1]連續(xù), 在(0,1)可導(dǎo), 且f(0) = f(1).
根據(jù)Rolle定理, 存在c∈(0,1), 使f'(c) = 0.
考慮g(x) = f'(x)(x-1)², 有g(shù)(x)在[c,1]連續(xù), 在(c,1)可導(dǎo), 且g(c) = 0 = g(1).
根據(jù)Rolle定理, 存在ξ∈(c,1), 使g'(ξ) = 0, 即有f"(ξ)(ξ-1)²+2(ξ-1)f'(ξ) = 0.
而ξ < 1, 于是f"(ξ) = 2f'(ξ)/(1-ξ).
Taylor公式是指帶Lagrange余項的Taylor展式嗎? 是必須要用嗎?
我目前還沒有想出來, 畢竟Taylor展式中ξ只出現(xiàn)在一個地方.
其實Taylor展式也是用中值定理證的, 而且中值定理也可以視為一階的Taylor展式.