由于f(x)連續(xù),則∫(0,x)tf(x-t)dt可導,
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可導
換元,令x-t=u,則dt=-du,u：x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
兩邊求導得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可導得：f '(x)可導
(1)兩邊再求導得：f ''(x)=e^x+f(x) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
將x=0代入原式得：f(0)=1
將x=0代入(1)得：f '(0)=1
這樣問題轉(zhuǎn)化為求解微分方程初值問題
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程為：r²-1=0,解得r=±1
因此齊次方程通解為：C1e^x+C2e^(-x)
設(shè)方程特解為：y*=axe^x
代入微分方程解得：a=1/2
因此微分方程通解為：f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
將初始條件f(0)=1,f '(0)=1代入得：f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x