證：A,B都是m*n的矩陣,則需證r(A+B)≤r(A)+r(B)
設(shè)A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,β(j1),
β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.那么A的每一個(gè)列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)線性表出,B的每一個(gè)列向量均可以用β(j1),
β(j2),...,β(jt)線性表出.于是A+B的每一個(gè)列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),
α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表出.
因此A+B列向量組中極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量個(gè)數(shù),即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)