(1)設(shè) x 為智慧數(shù),則 x = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = mn
其中 m = a+b ,n = a-b (a>b),且 a,b,m,n 均為正整數(shù)
由于 a+b 和 a-b 奇偶性相同,即 m,n 奇偶性相同,
所以可知智慧數(shù)可分解為兩個(gè)奇偶性相同的因數(shù).
由于 98 = 1*98 = 2*49 ,不能滿足上述要求,所以 98 不是智慧數(shù).
(2)另一方面,若某一正整數(shù) x 可分解為兩個(gè)奇偶性相同的因數(shù) m,n,則
x = mn = ((m+n)/2)^2 - ((m-n)/2)^2 = a^2 - b^2
其中 a = (m+n)/2 ,b = (m-n)/2 ,(m>n),且 a,b,m,n 均為正整數(shù)
所以按定義 x 是智慧數(shù).
綜合(1)(2)可得,若一正整數(shù) x 可分解為兩個(gè)奇偶性相同的因數(shù) m,n,則 x 是智慧數(shù),否則不是
首先 1 不是智慧數(shù),因?yàn)?1 = 1*1 = 1^2 - 0^2 ,而 0 不是正整數(shù)
其次大于1的奇數(shù)(設(shè)為 x )都是智慧數(shù),因?yàn)?x = 1 * x ,1 和 x 同為奇數(shù)
再次能被4整除的偶數(shù)(設(shè)為 x)都是智慧數(shù),因?yàn)?x = 4p = 2 * 2p ,2 和 2p同為偶數(shù)
最后只能被2整除而不能被4整除的偶數(shù)(設(shè)為 x )不是智慧數(shù),
因?yàn)?x 只能分解為 1 * x (一奇一偶) 和 2 * p (一偶一奇)
綜上所述,1 和 2與一大于2的質(zhì)數(shù)的乘積（即只能被2整除而不能被4整除的偶數(shù)) 都不是智慧數(shù)
例如 1 ,6 ,10 ,14 等等.
要求1 到 2000 內(nèi)智慧數(shù),因?yàn)?1 到 1000 以內(nèi)共有 168 個(gè)質(zhì)數(shù),除了2 以外共有167 個(gè)質(zhì)數(shù),所以 1 到 2000 內(nèi)智慧數(shù)個(gè)數(shù)為 2000 - 1 - 167 = 1832 個(gè)