求解兩道高數(shù)中值定理題
求解兩道高數(shù)中值定理題
第一題：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(a>0),在(a,b)上可微,且f'(x)≠0.證明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=[(a+b)/2η]f'(η).
第二題：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),試證在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得(4/π)[f(1)-f(0)]=(1+ξ^2)f'(ξ).
第一題：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(a>0),在(a,b)上可微,且f'(x)≠0.證明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=[(a+b)/2η]f'(η).
第二題：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),試證在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得(4/π)[f(1)-f(0)]=(1+ξ^2)f'(ξ).
數(shù)學(xué)人氣：630 ℃時間：2020-06-03 08:57:09
優(yōu)質(zhì)解答
解這種題的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造輔助函數(shù)1.證明：令g(x)=x^2,由拉格朗日中值定理存在η∈(a,b),使得g'(η)=[g(b)-g(a)]/(b-a),即2η=a+b所以原題即為證明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=f'(η).當(dāng)ξ=η時,顯然成立2.證明：...
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