1.
n=1時(shí),S1=a1=(a1²+a1)/2,整理,得
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(與已知不符,舍去)或a1=1
S1=a1=1
n≥2時(shí),
Sn=(an²+an)/2 S(n-1)=[a(n-1)²+a(n-1)]/2
an=Sn-S(n-1)=(an²+an)/2-[a(n-1)²+a(n-1)]/2
整理,得
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an>0,an+a(n-1)>0,要等式成立,只有an-a(n-1)-1=0
an-a(n-1)=1,為定值.
數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
an=n
Sn=(n²+n)/2
2.
b(n+1)=2^an +bn=2ⁿ+bn
b(n+1)-bn=2ⁿ
bn-b(n-1)=2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)
…………
b2-b1=2
累加
bn-b1=2+2²+...+2^(n-1)
題目缺少條件,估計(jì)原題有b1=1,那么：
bn=b1+2+2²+...+2^(n-1)=1+2+2²+...+2^(n-1)=1×(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ-1???????????b1=2.??????????????b(n+1)=2^an +bn=2ⁿ+bnb(n+1)-bn=2ⁿbn-b(n-1)=2^(n-1)b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)????????b2-b1=2???bn-b1=2+2²+...+2^(n-1)bn=b1+2+2²+...+2^(n-1)=2+2+2²+...+2^(n-1)=1+2+2²+...+2^(n-1) +1=1??(2ⁿ-1)/(2-1) +1=2ⁿ-1 +1=2ⁿ