3.1415926535897932384626
古人計算圓周率,一般是用割圓法.即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長.Archimedes用正96邊形得到圓周率小數(shù)點后3位的精度;劉徽用正3072邊形得到5位精度;Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35位精度.這種基于幾何的算法計算量大,速度慢,吃力不討好.隨著數(shù)學的發(fā)展,數(shù)學家們在進行數(shù)學研究時有意無意地發(fā)現(xiàn)了許多計算圓周率的公式.下面挑選一些經(jīng)典的常用公式加以介紹.除了這些經(jīng)典公式外,還有很多其他公式和由這些經(jīng)典公式衍生出來的公式,就不一一列舉了.
Machin公式 這個公式由英國天文學教授John Machin于1706年發(fā)現(xiàn).他利用這個公式計算到了100位的圓周率.Machin公式每計算一項可以得到1.4位的十進制精度.因為它的計算過程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長整數(shù),所以可以很容易地在計算機上編程實現(xiàn).
Machin.c 源程序 還有很多類似于Machin公式的反正切公式.在所有這些公式中,Machin公式似乎是最快的了.雖然如此,如果要計算更多的位數(shù),比如幾千萬位,Machin公式就力不從心了.下面介紹的算法,在PC機上計算大約一天時間,就可以得到圓周率的過億位的精度.這些算法用程序?qū)崿F(xiàn)起來比較復雜.因為計算過程中涉及兩個大數(shù)的乘除運算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法.FFT可以將兩個大數(shù)的乘除運算時間由O(n2)縮短為O(nlog(n)).
Ramanujan公式 1914年,印度數(shù)學家Srinivasa Ramanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計算公式,這是其中之一.這個公式每計算一項可以得到8位的十進制精度.1985年Gosper用這個公式計算到了圓周率的17,500,000位.1989年,David & Gregory Chudnovsky兄弟將Ramanujan公式改良成為:這個公式被稱為Chudnovsky公式,每計算一項可以得到15位的十進制精度.1994年Chudnovsky兄弟利用這個公式計算到了4,044,000,000位.Chudnovsky公式的另一個更方便于計算機編程的形式是:AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式:初值:重復計算:最后計算:這個公式每迭代一次將得到雙倍的十進制精度,比如要計算100萬位,迭代20次就夠了.1999年9月Takahashi和Kanada用這個算法計算到了圓周率的206,158,430,000位,創(chuàng)出新的世界紀錄.Borwein四次迭代式:初值:重復計算:最后計算:這個公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年發(fā)表,它四次收斂于圓周率.
Bailey-Borwein-Plouffe算法 這個公式簡稱BBP公式,由David Bailey,Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同發(fā)表.它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法,可以計算圓周率的任意第n位,而不用計算前面的n-1位.這為圓周率的分布式計算提供了可行性.1997年,Fabrice Bellard找到了一個比BBP快40%的公式:3.1415926<3.1415927
圓周率π現(xiàn)在已經(jīng)算到多少位了?具體是什么數(shù)字?
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3.1415926后面是多少?
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數(shù)學人氣:238 ℃時間:2019-10-24 04:30:46
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