證明f(x)在R上連續(xù),即要證明對于任意x0,
極限lim[f(x0+Δx)(Δx→0)存在且等于f(x0).
因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù),所以limf(x)(x→0)=f(0)
又因?yàn)閒(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0
所以f(x0+Δx)=f(x0)+f(Δx)
所以lim[f(x0+Δx)(Δx→0)=limf(Δx)+f(0)(Δx→0)=f(x0)
即證明了函數(shù)在任意一點(diǎn)x處存在極限且等于f(x0)
結(jié)論得證