這個是代數(shù)基本定理,高斯最早給的證明 我只記得一個在抽象代數(shù)書上的證明
證明比較長 思路大概是
1 實系數(shù)奇數(shù)次方程有實根 (這只要用數(shù)學分析中連續(xù)函數(shù)的介值定理)
2 復系數(shù)2次方程有2復根 (配方法就行)
3 實系數(shù)方程有復根
證 (粗略的) 次數(shù)設(shè)為 2^MQ Q為奇數(shù) 對M歸納
M=0時 由1 得證
若M>=K時成立
對M=K+1時
G(X)=X^N+A(N-1)X^(N-1).+A0 (N=2^MQ)
為實域R上多項式
則 在某一拓域F上有N個根(用到域的拓張的知識 如果不懂 可以想象 取X1為
一個字 定義他滿足上述方程 講其加到 R上 得R上拓域記為R(X1) 當然這一點是要證明的 不過涉及知識比較多 理解一下就好 然后 原多項式可分解為 (X-X1)G1(X) 接著繼續(xù)取G1(X)=0的根X2 得R(X1,X2) 一直做下去 可得 在某1拓域上 G(X)=0有N個根 X1,X2.XN)
設(shè)為 X1,X2,.XN 則G(X)=(X-X1).(X-XN)
對實數(shù)C 有 作X-(XI+XJ+CXIXJ) 對每個N>=I>J>=0
將他們?nèi)肯喑?得H(X) 則H(X) 為 N(N+1)/2=2^(M-1)Q(N+1)次注意到 Q(N+1)為奇數(shù)
再看H(X) 易知 H(X)中每項系數(shù)都為 X1,X2.XN在R上的對稱多項式 由
對稱多項式基本定理 知 每項系數(shù) 都能寫成
U1,U2.UN的多項式 其中
U1=X1+X2+...XN
U2=X1X2+X1X3+...X1XN+X2X3...X2XN...+XN-1XN
U3=X1X2X3+X1X2X4...XN-2XN-1XN
.
UN=X1X2...XN
由韋達定理(或者說由(X-X1)(X-X2)...(X-XN)=G(X)展開對比系數(shù))知
U1=-A(N-1)
U2=A(N-2)
.
UN=(-1)^N *A
所以
U1...UN為實數(shù)
所以H(X)為實系數(shù)多項式 所以由歸納假設(shè)知 H(X)=0有復根
所以存在某個 I,J有
XI+XJ+CXIXJ為復數(shù) (注意到 I J 是與C有關(guān)的 所以記為I(C) J(C))
因為 (I,J)的數(shù)對只有有限多個 但C屬于R有無窮多 所以 存在 C1不=C2有
(I(C1),J(C1))=(I(C2),J(C2))記為I J
則 XI+XJ+C1XIXJ=A屬于C
XI+XJ+C2XIXJ=B屬于C
則 容易解得 XI+XJ=(C2A-C1B)/(C2-C1)屬于C
XIXJ=(A-B)/(C1-C2)屬于C
則 XI XJ 為 復系數(shù)2次方程
X^2- (C2A-C1B)/(C2-C1)X+(A-B)/(C1-C2)=0 的2根
由2知 XI XJ為復數(shù) 所以F(X)=0有復根
4 復系數(shù)方程有復根
證 設(shè)F(X)為復系數(shù)多項式 F1(X)為他的共軛 則 G(X)=F(X)F1(X)為實系數(shù)多項式 所以 G(X)=0有復根X 則為F(X)=0或F1(X)=0的根 所以
X或X的共軛為F(X)=0的復根
5復系數(shù)N次方程有N個復根(計入重根)
(這是明顯的 因為由5 知 N次復系數(shù)方程F1(X)=0有復根 設(shè)為X1則F可分解 有
F1(X)=(X-X1)F2(X) 其中F2為復系數(shù)N-1次多項式 所以有復根 X2 則
F1(X)=(X-X1)(X-X2)F3(X) 一直下去得 F(X)=(X-X1)(X-X2).(X-XN)
所以有N個復根