已知橢圓x²/a²+y²/b²=1與x軸正向交于點(diǎn)A,若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P,使OP⊥AP（點(diǎn)O為原點(diǎn)）,求離心率e取值范圍

數(shù)學(xué)人氣：594 ℃時(shí)間：2020-06-02 22:23:02

優(yōu)質(zhì)解答

OA=a,設(shè)∠AOP=θ,則OP=acosθ,這樣就得到點(diǎn)P的坐標(biāo)：（acos²θ,acosθsinθ）
因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)P在這個(gè)橢圓上
所以存在φ,使得：
acos²θ=acosφ,.(1)
acosθsinθ=bsinφ.(2)
由（1）得：cos²θ=cosφ
由（2）得：a²cos²θsin²θ=b²sin²φ
所以：a²cosφ（1-cosφ）=b²sin²φ=b²(1-cos²φ)
約掉1-cosφ,得：
a²cosφ=b²(1+cosφ)
解得:cosφ=b²/(a²-b²)≤1
2b²≤a²
2(a²-c²)≤a²
a²≤2c²
1≤2e²
e²≥1/2
又因?yàn)闄E圓的離心率e滿足：0