【1】證明：①∵點P(2,4)在拋物線y=(-1/2)x ²+h上,∴4=（-1/2）×2 ²+h..
∴h=6.
∴拋物線y=(-1/2)x ²+6.
②∵點A,B均在該拋物線上,故可設(shè)其坐標為A(2a,6-2a ²),B(2b,6-2b ²).(a≠b).
③由題設(shè)可知,若直線PA的傾斜角為β,則直線PB的傾斜角為π-β
∴由斜率公式可知,Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即兩條直線PA與PB的斜率之和為0.
又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a ²)/(2a-2)= －(a+1).
Kpb=(2-2b ²)/(2b-2)= －(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0.∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a ²)-(6-2b ²)]/(2a-2b)=(b ²-a ²)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直線AB的斜率恒為定值2.
①∵直線AB的斜率為2,故可設(shè)其“斜截式方程”為：y=2x+t.
又直線AB的縱截距為正,∴t＞0.
聯(lián)立拋物線方程y=(-1/2)x ²+6與直線方程y=2x+t.,整理可得：
x ²+4x+2(t-6)=0.
∴判別式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) ＞0.∴0＜t＜8.
②由“圓錐曲線弦長公式”可知,弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“點到直線的距離公式”可知,點P(2,4)到直線AB:y=2x+t的距離d為：
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面積S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t²(8-t)]= √[2(-t³+8t²)].
③現(xiàn)在來求函數(shù)f(t)=-t³+8t²,(0＜t＜8）的最大值.
求導(dǎo)可得f′(t)=-3t ²+16t.=-t(3t-16).
易知,在區(qū)間(0,8)上,當(dāng)0＜t＜16/3時,有f′(t) ＞0.
當(dāng)16/3＜t＜8時,有f′(t) ＜0.
∴由“函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系”可知,
函數(shù)f(t)在t=16/3時取得最大值.∴當(dāng)t=16/3時,⊿PAB的面積最大.
④當(dāng)t=16/3時,由S=√[2t ²(8-t)]可得：S=(64√3)/9.
即⊿PAB面積的最大值為（64√3）/9.