二次曲面一般形式為 ax^2+by^2+c z^2
+2d xy+2eyz+2fxz+gx+hy+iz+j=0
考慮觀測者在無窮遠(yuǎn)處觀測,方程的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)都是小量,因此形狀取決于二次式
ax^2+by^2+c z^2
+2d xy+2eyz+2fxz=0
寫為
(x,y,z)A(x,y,z)^T=0,
A 為矩陣
a d f
d b e
f e c
用相似變換將其對角化
得到S
s1 0 0
0 s2 0
0 0 s3
對應(yīng)方程(z1,z2,z3)S(z1,z2,z3)^T=0
分如下幾種情況
s1,s2,s3 都是正或都是負(fù)的,z=0,對應(yīng)在無窮遠(yuǎn)處收縮為0的點(diǎn),正是橢球在無窮遠(yuǎn)處的情形；
s1,s2,s3 兩正一負(fù)或兩負(fù)一正,對應(yīng)無窮遠(yuǎn)處錐形,正是雙曲面在無窮遠(yuǎn)處的情形；
s1,s2,s3 兩正一零或兩負(fù)一零,對應(yīng)無窮遠(yuǎn)處收縮為線,正是拋物面在無窮遠(yuǎn)處的情形.不過嚴(yán)格的拋物面對應(yīng)的兩個(gè)非零s還要相等；
s1,s2,s3 一正一負(fù)一零,對應(yīng)無窮遠(yuǎn)處收縮為兩個(gè)面,正是雙曲柱面在無窮遠(yuǎn)處的情形；
s1,s2,s3 兩零,對應(yīng)無窮遠(yuǎn)處收縮為細(xì)線形,正是橢圓柱面在無窮遠(yuǎn)處的情形.不過嚴(yán)格的圓面對應(yīng)的兩個(gè)非零s還要相等；
s1,s2,s3 兩零,對應(yīng)無窮遠(yuǎn)處收縮為一個(gè)線,正是拋物面在無窮遠(yuǎn)處的情形；