設f(z)= u(x,y) + i v(x,y).
若|f(z)|=0, 則推出: f(z)=0.結論正確.
若|f(z)|≠0,
而|f(z)|在D內恒為常數,表示: {u(x,y)}^2 +{v(x,y)^2} = 常數≠0.(**)
求偏導,并以:u'(x) 表示u(x,y) 對x的偏導數.
有:2uu'(x) +2vv'(x) =0(1)
2uu'(y) +2vv'(y) =0(2)
由于f(z)解析,故u,v 滿足C---R條件. u'(x) = v'(y), u'(y) = - v'(x)
代入(1),(2) 得:
uu'(x) - vu'(y) = 0(3)
uu'(y) + vu'(x)=0(4)
由于:(**) u^2 +v^2 ≠0,由(3) (4) 解得:u'(x) ≡ 0,u'(y) ≡0.
從而推出:u(x,y) ≡ C1 .(常數)
同理可推出:v(x,y) ≡C2.(常數)
從而知:f(z)≡ C1 +iC2
命題因此得到證明.