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  • 如圖所示等腰梯形ABCD中,AD=BC,AB∥CD,對(duì)角線AC與BD交于O,∵∠ACD=60°,點(diǎn)S、P、Q分別是OD,OA,BC的中點(diǎn). 求證:△PQS是等邊三角形.

    如圖所示等腰梯形ABCD中,AD=BC,AB∥CD,對(duì)角線AC與BD交于O,∵∠ACD=60°,點(diǎn)S、P、Q分別是OD,OA,BC的中點(diǎn).
    求證:△PQS是等邊三角形.
    數(shù)學(xué)人氣:790 ℃時(shí)間:2019-09-23 14:05:05
    優(yōu)質(zhì)解答
    證明:連CS,BP,

    ∵四邊形ABCD是等腰梯形,且AC與BD相交于O,
    ∴AC=BD,
    在△CAB和△DBA中,
    CA=DB
    AB=AB
    BC=AD

    ∴△CAB≌△DBA(SSS),
    ∴∠CAB=∠DBA,
    同理可得出:∠ACD=∠BDC,
    ∴AO=BO,CO=DO,
    ∵∠ACD=60°,
    ∴△OCD與△OAB均為等邊三角形.
    ∵S是OD的中點(diǎn),
    ∴CS⊥DO,
    在Rt△BSC中,Q為BC中點(diǎn),SQ是斜邊BC的中線,
    ∴SQ=
    1
    2
    BC,
    同理BP⊥AC,
    在Rt△BPC中,PQ=
    1
    2
    BC,
    又∵SP是△OAD的中位線,
    ∴SP=
    1
    2
    AD=
    1
    2
    BC.
    ∴SP=PQ=SQ.
    故△SPQ為等邊三角形.
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