已知函數(shù)f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R).若在區(qū)間（0,+）上,函數(shù)f(x)的圖象恒在曲線y=2ae^x下方,求a的取值范圍.
解析：∵函數(shù)f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R),在區(qū)間（0,+∞）上,函數(shù)f(x)的圖象恒在曲線y=2ae^x下方
即2ae^x-f(x)>0恒成立
設(shè)g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
當(dāng)a=0時
g(x)=1/2e^(2x)-x
令g’(x)=e^(2x)-1=0==>x=0
g’’(x)=2e^(2x)>0,∴g(x)在x=0處取極小值1/2>0
∴滿足題意要求；
當(dāng)a<0時
g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
令g’(x)=2ae^x-2(a-1/2)e^(2x)-1=0==>e^x=1或e^x=1/(2a-1)
∴x1=0,x2=-ln(2a-1)
g’’(x)=2ae^x-4(a-1/2)e^(2x)==> g’’(0)=2-2a
g’’(-ln(2a-1))=2a/(2a-1)-4(a-1/2)/(2a-1)^2=(4a^2-6a+2)/(2a-1)^2
∵a<0
∴g’’(0)>0,g(x)在x=0處取極小值g(0)=a+1/2
∴當(dāng)-1/2當(dāng)a>0時
g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
令g’(x)=2ae^x-2(a-1/2)e^(2x)-1=0==>e^x=1或e^x=1/(2a-1)
∴x1=0,x2=-ln(2a-1)
g’’(x)=2ae^x-4(a-1/2)e^(2x)==> g’’(0)=2-2a,g’’(-ln(2a-1))=2a/(2a-1)-4(a-1/2)/(2a-1)^2=(4a^2-6a+2)/(2a-1)^2
∵a>0
∴00,g(x)在x=0處取極小值g(0)=a+1/2
1/2A=1時,g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)減；
A>1時,g’’(0)<0,g(x)在x=0處取極大值；g’’(-ln(2a-1))>0, g(x)在x=-ln(2a-1)處取極小值；
∴0綜上：當(dāng)-1/2