誰(shuí)給你出的這道題?真是腦筋缺根弦!
只能證明當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí),（1+1/n）的n次方存在極限,（具體證明過(guò)程在下面）而因?yàn)檫@個(gè)極限是個(gè)無(wú)理數(shù),所以就用e來(lái)代替這個(gè)極限值,e=2.71828……,e是事后規(guī)定的!
附：下面證明原極限存在（用單調(diào)有界必有極限來(lái)證）：
首先需要二項(xiàng)式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用數(shù)學(xué)歸納法證此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
 a+b
 故此,n=1時(shí),式一成立.
設(shè)n1為任一自然數(shù),假設(shè)n=n1時(shí),（式一）成立 ,即：
（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
則,當(dāng)n=n1+1時(shí):
式二兩端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據(jù)乘法分配律)
因此二項(xiàng)式定理（即式一成立）
下面用二項(xiàng)式定理計(jì)算這一極限：
（1+1/n）^n （式一）
用二項(xiàng)式展開(kāi)得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)項(xiàng)的分子乘積的最高次項(xiàng)與（1/n）的次數(shù)相同,而系數(shù)為1,因此,最高次項(xiàng)與（1/n）的相應(yīng)次方剛好相約,得1,低次項(xiàng)與1/n的相應(yīng)次方相約后,分子剩下常數(shù),而分母總余下n的若干次方,當(dāng)n -> +∞,得0.因此總的結(jié)果是當(dāng)n -> +∞,二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)項(xiàng)的各項(xiàng)分子乘積與（1/n）的相應(yīng)項(xiàng)的次方相約,得1.余下分母.于是式一化為：
（1+1/n）^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n!（式二）
當(dāng)n -> +∞時(shí),你可以用計(jì)算機(jī),或筆計(jì)算此值.這一數(shù)值定義為e.
補(bǔ)充：
將式二和公比為1/2的等比數(shù)列比較,其每一項(xiàng)都小于此等比數(shù)列,而此等比數(shù)列收斂,因此,式二必定收斂于一固定數(shù)值.