方程|x^2+ax+b|=2可以分化為兩個(gè)一元二次方程：
x^2+ax+b=2
x^2+ax+b=-2
根據(jù)題意知上面兩組方程有三個(gè)不同實(shí)根,且三個(gè)不同實(shí)數(shù)根恰好是一個(gè)直角三角形的三邊,說(shuō)明這組方程的解都是三個(gè)正數(shù)并且有三種情況：
1）每個(gè)方程都有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,但有一個(gè)是相同的
2）方程x^2+ax+b=2有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根（x1,x2),方程x^2+ax+b=-2有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根(x3,x4)
3）方程x^2+ax+b=2有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根,方程x^2+ax+b=-2有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根
現(xiàn)在分開(kāi)討論
如果第一種情況存在,設(shè)相同的根是t,將t代入這組方程得到
t^2+at+b=2
t^2+at+b=-2
這種不可能,所以排除
如果第二種情況存在,則由韋達(dá)定理知x1+x2=-a,x1*x2=b-2.x3+x4=-a,x3*x4=b+2 .設(shè)x3=x4=t（t大于0）
那么t^2=b+2,得t=根號(hào)（b+2）進(jìn)而得到a=-2倍根號(hào)（b+2）【因?yàn)?t=-a】.所以有x1+x2=2倍根號(hào)（b+2）,x1*x2=b-2
解得x1=根號(hào)（b+2）+2,x2=根號(hào)（b+2）-2
x1,x2,t構(gòu)成直角三角形三條邊
所以有[根號(hào)（b+2）+2]^2=[根號(hào)（b+2）-2]^2+[根號(hào)（b+2）]^2
解得b=62
所以x1=根號(hào)（b+2）+2=8+2=10(b=62)
x2=根號(hào)（b+2）-2=8-2=6(b=62)
t=根號(hào)（b+2）=8(b=62)
再討論第三種情況存在時(shí),設(shè)x1=x2=t
同理x1+x2=-a,x1*x2=b-2,x3+x4=-a,x3*x4=b+2
由x1*x2=b-2得t=根號(hào)（b-2)進(jìn)而得到
x3+x4=-a=2倍根號(hào)（b-2),x3*x4=b+2
由這組關(guān)系式用韋達(dá)定理可以將x3,x4看做方程
x^-[2倍根號(hào)（b-2)]x+b+2=0的解
然而x^-[2倍根號(hào)（b-2)]x+b+2=[x-根號(hào)（b-2)]^2+4,這個(gè)關(guān)系式大于0
所以該方程無(wú)解,也就是第三種情況不存在.
綜上三種情況分析只有第二種情況存在,滿足題意要求
故直角三角形三條邊長(zhǎng)分別是6,810（從小到大）