已知f(x)=0.5ax²-2ax+lnx有兩個極值點x₁,x₂,且x₁x₂b(a²-1)-(a+1)+2ln2對所有a∈M恒成立,求實數(shù)b的取值范圍
(1).f(x)的定義域為：x>0；
令f′(x)=ax-2a+1/x=(ax²-2ax+1)/x=0；得ax²-2ax+1=0,因為有兩個極值點,故其判別式Δ=4a²-4a
=4a(a-1)>0,故得a1.(1)
又x₁x₂=1/a2.(2)
M=(1)∩(2)={a︱a>2}
(2) 由f(x)+ln(a+1)>b(a²-1)-(a+1)+2ln2.(3)得：
b2]
要使不等式(3)對任何a∈M恒成立,則b要小于u的最小值.
由于u=[(1/2)ax²-2ax+lnx+ln(a+1)+(a+1)-ln4]/(a²-1)
={(1/2)a[(x-2)²-4]+lnx+ln(a+1)+(a+1)-ln4]/(a²-1)}
={(1/2)a(x-2)²+lnx+ln(a+1)-a+1-ln4]/(a²-1)}
≧ln2+ln(a+1)-a+1-ln4>ln2+ln3-2+1-ln4=ln(6/4)-1=ln(3/2)-1
即要使(3)對所有a∈M恒成立,必須b如果是“已知f(x)=0.5ax²-2ax+lnx有兩個極值點x₁，x₂，且x₁x₂>1/2”第二問怎么求？第二問不是已經(jīng)給你做完了嗎？原題是x₁x₂<1/2，而現(xiàn)在是x₁x₂>1/2，a的范圍變了u的表達式中有l(wèi)n(a+1)，因此a>-1...........(3)若x₁x₂=1/a>1/2，則a<2，于是M=(1)∩(2)∩(3)={a︱-10，u是增函數(shù)，umax=u(0)=ln2+1-ln4=1+ln(1/2)；當1