高等代數(shù)的一道題目,涉及多項式互素和矩陣運算,矩陣的秩.
高等代數(shù)的一道題目,涉及多項式互素和矩陣運算,矩陣的秩.
設(shè)數(shù)域F上的多項式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n階實矩陣A使得f(A)=0,證明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.
設(shè)數(shù)域F上的多項式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n階實矩陣A使得f(A)=0,證明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.
數(shù)學(xué)人氣：402 ℃時間：2020-03-14 07:37:41
優(yōu)質(zhì)解答
由于秩不依賴于域的選取, 可以在復(fù)數(shù)域上處理.先把A化到Jordan標(biāo)準(zhǔn)型, 然后對于每個Jordan塊J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一個非奇異(因為g和h沒有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以這兩個因子恰有一個為零, 另一個滿秩....您能用別的方法么？我還沒學(xué)到Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。謝謝了!那我再給你一個辦法, 不需要做域擴張先取多項式u(x), v(x)使得u(x)g(x)+v(x)h(x)=1然后對塊對角陣[g(A), 0; 0, h(A)]做塊初等變換[g(A), 0; 0, h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A), h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A)+h(A)v(A), h(A)]=[g(A), 0; I, h(A)]~ [0, -g(A)h(A); I, h(A)]=[0, 0; I, h(A)] ~ [0, 0; I, 0]
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