已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±3x，右焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線的距離為3．（1）求雙曲線C的方程；（2）過F作斜率為k的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：|AB||FD|為

已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±

x，右焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線的距離為

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過F作斜率為k的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：

|AB|

|FD|

為定值．

數(shù)學(xué)人氣：881 ℃時(shí)間：2019-10-17 07:28:25

優(yōu)質(zhì)解答

（1）設(shè)雙曲線方程為3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由題知c=2，∴

+λ＝4，∴λ=3…（4分）
∴雙曲線方程為：x2?

＝1…（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）代入x2?

＝1
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)P（x₀，y₀）
則x0＝?

2k2

3?k2

，代入l得：y0＝

?6k

3?k2

…（7分）
|AB|＝

1+k2

|x1?x2|＝…＝

6(k2+1)

|3?k2|

…（8分）
AB的垂直平分線方程為y＝?

(x+

2k2

3?k2

…（9分）
令y=0得xD＝

?8k2

3?k2

…（10分）
∴|FD|＝|

?8k2

3?k2

?2|＝|

?6(1+k2)

3?k2

|＝

6(1+k2)

|3?k2|

…（11分）
∴

|AB|

|FD|

＝1為定值．…（12分）

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