條件應(yīng)該有A ≠ 0吧.
n = 2時,設(shè)A =
a b
c d
則伴隨矩陣A* =
d -b
-c a
由轉(zhuǎn)置A‘ = A*得a = d,b = -c.
當(dāng)討論限制為實矩陣,行列式|A| = a²+b² > 0,A可逆.
復(fù)矩陣時有反例:
1 i
-i 1
n > 2時,無論在哪個域上,命題總是成立的,證明如下.
若A的秩r(A) < n-1,伴隨矩陣A*是由A的n-1階子式構(gòu)造,有A* = 0,與A ≠ 0從而轉(zhuǎn)置矩陣A' ≠ 0矛盾.
若r(A) = n-1,由AA* = |A|·E = 0,及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*),有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A').
于是r(A) < n時總有A* ≠ A'.即由A* = A'可推出A可逆.