這是我整理的一些內(nèi)容,希望對(duì)你有所幫助：
【一些結(jié)論】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(內(nèi)積）
3 若P是△ABC的內(nèi)心aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊）
4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)則直線AP經(jīng)過△ABC內(nèi)心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)經(jīng)過垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞)經(jīng)過重心
8.若aOA=bOB+cOC,則0為∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分線的交點(diǎn)
【以下是一些結(jié)論的有關(guān)證明】
1.
O是三角形內(nèi)心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延長CO交AB于D,根據(jù)向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因?yàn)镺D與OC共線,所以可設(shè)OD=kOC,
上式可化為(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA與DB共線,向量OC與向量DA、DB不共線,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a,
所以CD為∠ACB的平分線,同理可證其它的兩條也是角平分線.
必要性：
已知O是三角形內(nèi)心,
設(shè)BO與AC相交于E,CO與AB相交于F,
∵O是內(nèi)心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
過A作CO的平行線,與BO的延長線相交于N,過A作BO的平行線,與CO的延長線相交于M,
所以四邊形OMAN是平行四邊形
根據(jù)平行四邊形法則,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 為斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一個(gè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P點(diǎn)軌跡過三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根據(jù)正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P點(diǎn)軌跡過三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線
根據(jù)正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP與AB+AC共線
AB+AC過BC中點(diǎn)D,所以P點(diǎn)的軌跡也過中點(diǎn)D,
∴點(diǎn)P過三角形重心.
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP與向量BC垂直,
P點(diǎn)的軌跡過垂心.
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的單位長度向量,
向量AB與AC的單位向量的和向量,
因?yàn)槭菃挝幌蛄?模長都相等,構(gòu)成菱形,
向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對(duì)角線,
易知是角平分線,所以P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過內(nèi)心.
三角形重心表達(dá)式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
證明：設(shè)AD為三角形ABC中BC邊的中線,O為三角形的重心
延長OD到E,使OD=DE,連結(jié)BE,CE
且有BD=DC,所以四邊形BOCE為平行四邊形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o為重心,將AD分為2：1兩部分,即AO=2OD=OE
綜上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心
O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
證明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可證OA⊥CB,OB⊥AC.
所以O(shè)是三角形的垂心.
另:三角形內(nèi)心是其內(nèi)切圓圓心,即三條角分線交點(diǎn),只有一個(gè)；
三角形外心是其外接圓圓心,即三條邊的垂直平分線交點(diǎn),只有一個(gè)；
三角形重心是三條中線的交點(diǎn),只有一個(gè)；
三角形垂心是三條高線交點(diǎn),只有一個(gè)；
三角形旁心是一條內(nèi)角平分線和另兩角外角平分線交點(diǎn),即和其中一條邊及另兩條邊之延長線相切的圓的圓心,有三個(gè)旁心.