（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圓的切線，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ABC∽△OFB．
（2）連接OP，
由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，
∵AM、BN是⊙O的切線，
∴∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
∴當△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
∵DP切圓O，DA切圓O，
∴DP=DA，
∵△ABD≌△BFO，
∴DA=BO=PO=DP，
又∵∠DAO=∠DPO=90°，
∴四邊形AOPD是正方形，
∴DQ∥AB，
∴四邊形ABQD是矩形，
∴BQ=AD=1；
（3）證明：由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴

BF

OB

=

AB

AD

，
∴BF=

OB?AB

AD

=

1×2

AD

=

2

AD

，
∵DP是半圓O的切線，射線AM、BN為半圓O的切線，
∴AD=DP，QB=QP，
過Q點作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，
DQ²=QK²+DK²，
∴（AD+BQ）²=（AD-BQ）²+2²．
∴BQ=

1

AD

，
∴BF=2BQ，
∴Q為BF的中點．