條件1） f(x-4)=f(2-x)
a(x-4)^2 + b(x-4) = a(2-x)^2 + b(2-x)
a*(12-4x) = b(6-2x)
b = 2a
條件3）f(x)在R上的最小值為0.推出
a>0 且 b^2 - 4ac = 0
以 b = 2a 代入
4a^2 - 4ac = 0
a = c
綜上 b = 2a = 2c > 0
f(x) = a(x^2+2x+1) = a(x+1)^2
條件1） 當(dāng)x∈R時,f(x)≥x;
a(x+1)^2 ≥ x
ax^2 + (2a-1)x + a ≥ 0
因為 a>0 所以
x^2 + [(2a-1)/a] x + 1 ≥ 0
[x + (2a-1)/(2a)]^2 - [(2a-1)/(2a)]^2 + 1 ≥ 0
為保證在整個實數(shù)范圍,即 即使 x+(2a-1)/(2a)=0 時,上不等式成立,必須有
- [(2a-1)/(2a)]^2 + 1 ≥ 0
[(2a-1)/(2a)]^2 ≤ 1
-1 ≤(2a-1)/(2a) ≤ 1
因為 a>0 所以
-2a ≤2a-1 ≤ 2a
a ≥ 1/4
條件2） 當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)≤((x+1)/2)^2
a(x+1)^2 ≤ [(x+1)/2]^2
a ≤ 1/4
綜上所述 a = 1/4 、b=1/2、c=1/4
f(x) = (x+1)^2/4
我仔細檢查了幾次,怎么也找不到上面的推導(dǎo)有錯誤之處.但接下來 題目的要求 就有些奇怪了.
求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x
首先畫 f(x) = (x+1)^2/4 與 g(x)=x 的函數(shù)圖象,大致為
二者在 x=1 處相切.除去切點之外,始終有 g(x) < f(x)
我認為不存在那樣一個最大值m.或者說 m 最大可以到 正無窮大.
例如 對于任意一個很大很大的x值,比如設(shè)為 x0.
我們可以取 t = -x0 -1.f(x+t) = f(x0 - x0-1) = f(-1) = 0 < g(x0).
因為 t∈R,只要取一個負數(shù)的t值,只要這樣足夠負的t存在,總可以保證 f(x+t) < g(x) 成立,不論 m 取至多大.