在三角形ABC中,AB=2AC,角BAC=60度,P為三角形內(nèi)一點,PA=根號3,PB=5,PC=2.求三角形的面積.
【解】AB=2AC,角BAC=60度,
設(shè)AC=x,則AB=2x,根據(jù)余弦定理可得：
BC^2=x^2+4x^2-2•x•2x•cos60°,BC=√3x.
所以AB^2=AC^2+BC^2,∠ACB=90°.
延長AC到點D,使得CD=AC,連結(jié)BD.
則△BAD是等邊三角形.
注意到∠BAC=60°,將△BAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,到達(dá)△DAE的位置.
則AE=AP=√3,∠PAE=60°,△PAE是等邊三角形.
PE=√3.
△PAD中,PC是AD邊的中線,設(shè)PD=y,
利用如下結(jié)論：平行四邊形兩條對角線長的平方和等于它的四條邊的平方和.
則有4^2+(2x)^2=(√3)^2+y^2+(√3)^2+y^2,
所以y^2=2x^2-1.
在△PED中,PE=√3,ED=PB=5,PD=y,根據(jù)余弦定理得：
Cos∠PED=(3+25- y^2)/(10√3)=(28- y^2) /(10√3)
=(29-2x^2) /(10√3).
所以sin∠PED=√[1- Cos²∠PED]= √[300-(29-2x^2) ²]/(10√3).
在△AED中,AE=√3,ED=5,AD=2X,
∠AED=∠PED+∠PEA=∠PED+60°,
cos∠AED=cos(∠PED+60°)=cos∠PED cos60°-sin∠PED sin60°
=(29-2x^2) /(20√3)- √[300-(29-2x^2) ²]/20.
根據(jù)余弦定理得：AD²= AE²+ ED²-2•AE•ED•cos∠AED,
即4x²=3+25-10√3•{(29-2x^2) /(20√3)- √[300-(29-2x^2) ²]/20},
28-4x²=(29-2x^2) /2-√3•√[300-(29-2x^2) ²]/2,
√3•√[300-(29-2x^2) ²]/2=(6 x²-27)/2,
300-(29-2x^2) ²=3(2 x^2-9) ²,
16x^4-224x^2+784=0,
x^4-14 x^2+49=0,
x^2=7.
∴直角三角形BCA的面積=√3x² /2=7√3/2.