不能通過簡單的角邊相等來證,只能通過求角為60或三邊相等,并且繁簡一樣,都用到解斜三角形.下面是我的證明,僅作參考.
設正方形邊長為a,
過E作EF垂直AB于F,EAB=角EBA,三角形EAB為等腰三角形,所以F為AB中點,
在RT△EAB中,AF=BF=a/2,
易求 cos15=√（1+cos30/2）=（√6+√2）/4,sin15=（√6-√2）/4
所以 AE=BE=AF / cos15=（√6-√2）*a/2
在三角形AED中,角DAE=90- EAB=75
cos75= sin15=（√6-√2）/4
由余弦定理有,
DE^2=AE^2+AD^2-2*AE*AD*cos75
=(（√6-√2）*a/2)^2+a^2-2*（√6-√2）*a/2*a*（√6-√2）/4
=a^2(前后兩個大項正好約掉,都不用展開了)
推出DE=a
同理 CE=a
由此 DC=DE= CE =a
三角形EDC為等邊三角形.