設(shè) z＝ax＋by,其中,x,y屬于M,a,b屬于系數(shù)域.
則：f（z）＝af（x）＋bf（y） －－－ 因為 f線性
＝ a＊0＋b＊0＝0
所以 z屬于M,即 M 是線性子空間.
設(shè) xi屬于M,i＝1,2,．．．． xi－－－－＞y,y屬于F．
因為f連續(xù),所以 f（xi） －－－－＞ f（y）,而f（xi）＝0,所以 f（y）＝ 0.所以 y屬于M,即 M是閉集.
綜上,M是F的閉線性子空間.