首先不妨把語言轉(zhuǎn)化為線性變換:取定一組基,以A,B為矩陣的線性變換仍記為A,B.
在復(fù)數(shù)域上,特征多項(xiàng)式一定有解,而每一特征值都有相應(yīng)的特征向量.
任取A的一個(gè)特征值λ,考慮A的屬于λ的特征子空間W(即AX = λX的解空間,可知W ≠ 0).
對(duì)任意X∈W,有A(BX) = B(AX) = λBX,于是BX∈W,即有W為B的不變子空間.
考慮B在W上的限制,作為復(fù)數(shù)域上線性空間中的線性變換必有特征值與相應(yīng)的特征向量.
而這一特征向量在A的特征子空間W中,因此為A,B的公共特征向量.
如果不用線性變換的語言,就要把上面用到的B在W上的限制表現(xiàn)為分塊矩陣.
不過還是作為線性變換更方便,所以具體的我就不寫了.