有一個橢圓與雙曲線共焦點,焦點分別為F₁,F₂,P為橢圓于雙曲線的一交點,如果向量PF₁•PF₂=0,雙曲線的離心率為e₂,橢圓離心率為e₁,求1/e²₁+1/e²₂的值.
∵PF₁•PF₂=0,∴PF₁⊥PF₂,故在RT△F₁PF₂中,設(shè)∠PF₁F₂=θ,那么
│PF₁│=2ccosθ,│PF₂│=2csinθ,設(shè)橢圓的長半軸為a₁,雙曲線的長半軸為a₂,那么,
對橢圓有 │PF₁│+│PF₂│=2c(cosθ+sinθ)=2a₁,故1/e₁=a₁/c₁=cosθ+sinθ
對雙曲線有 │PF₁│-│PF₂│=2c(cosθ-sinθ)=2a₂, 故1/e₂=a₂/c₂=cosθ-sinθ
于是 1/e²₁+1/e²₂=(cosθ+sinθ)²+(cosθ-sinθ)²=(1+2sinθcosθ)+(1-2sinθcosθ)=2