首先,要弄清開普勒運動中的一些守恒量.
r是物體與中心天體的距離,v是物體速度,m是物體質(zhì)量,M是中心天體質(zhì)量,L是物體角動量,θ是物體速度與物體和中心天體連線的夾角.
角動量守恒：L'=mr'×v'(其中L',r'與v'是矢量,×是叉乘)
機械能守恒：這個不用說了,不過用機械能來推導(dǎo)好像很難推導(dǎo).
然后就是隆格-愣次矢量,這個是從純理論上推導(dǎo)出來的守恒量
B'=v'×L'-GMmr'/r=常量
r'·B'=r'·(v'×L')-GMmr=L'·(r'×v')-GMmr=L^2/m-GMmr
其中r'·B'=rBcosθ
解得：r=p/(1+εcosθ)
式中：p=L^2/(GMm^2),ε=B/GMm
這便是極坐標下描繪的圓錐曲線,ε是離心率,p是半正焦弦
然后是你“順便”的問題,我只能告訴你,是相等的
根據(jù)開普勒定律,開普勒運動物體軌跡半軸長a=K^(1/3)T^(2/3)（其中K=GM）
也就是說,周期一定的運動,那么它的半軸長就確定了（不管是圓還是橢圓）.
然后根據(jù)a=-GMm/(2E),也就是說,能量只與半軸長有關(guān).這個你用上面式子算算看是不是,反正我是懶得算了.