p^4-1=(p^2+1)(p+1)(p-1),因為p是大于5的質(zhì)數(shù),所以p+1,p-1是兩個連續(xù)偶數(shù),所以其中必有一個是4的倍數(shù),另一個是2的倍數(shù).所以8|(p+1)(p-1).
另一方面,p+1,p,p-1是三個連續(xù)正整數(shù),所以模3的余數(shù)不同,所以若p-1、p+1均不是三的倍數(shù),那么p就是3的倍數(shù),但是p是大于5的質(zhì)數(shù),不會含有3這個因子,矛盾,因此3|(p+1)(p-1),又(3,8)=1,所以24|(p+1)(p-1),所以24|(p+1)(p-1)(p^2+1),即24|p^4-1.
因此p^4≡1(mod24)得證.