拋物線x^2=4y,焦點(diǎn)F,A,B為過(guò)F與拋物線的交點(diǎn),過(guò)A,B作拋物線切線交點(diǎn)為M,證向量FM×AB為定值
拋物線x^2=4y,焦點(diǎn)F,A,B為過(guò)F與拋物線的交點(diǎn),過(guò)A,B作拋物線切線交點(diǎn)為M,證向量FM×AB為定值
數(shù)學(xué)人氣：583 ℃時(shí)間：2019-12-14 22:05:31
優(yōu)質(zhì)解答
易知,點(diǎn)F(0,1).可設(shè)點(diǎn)A(2a,a^2),B(2b,b^2).(a≠b).由A,F,B三點(diǎn)共線知,ab=-1.易知,過(guò)點(diǎn)A,B的拋物線y^2=4x的切線方程分別是ax-y=a^2,bx-y=b^2.解該二元一次方程組得,x=a+b,y=ab,===>點(diǎn)M(a+b,ab).===>向量FM=(a+b,ab-1),向量AB=(2b-2a,b^2-a^2).===>FM*AB=2(b-a)(b+a)+(ab-1)(b^2-a^2)=2(b^2-a^2)-2(b^2-a^2)=0.===>FM*AB=0.
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