這是2011湖北理科數(shù)學高考第20題
（Ⅰ）設動點為M,其坐標為（x,y）,
當x≠±a時,由條件可得kMA₁•kMA₂=y/ ﹙x-a ﹚•y/﹙ x+a ﹚=m,
即mx²-y²=ma²（x≠±a）,
又A₁（-a,0）,A₂（a,0）的坐標滿足mx²-y²=ma²．
當m＜-1時,曲線C的方程為x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1,C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時,曲線C的方程為x²+y²=a²,C是圓心在原點的圓；
當-1＜m＜0時,曲線C的方程為x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1,C是焦點在x軸上的橢圓；
當m＞0時,曲線C的方程為x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1,C是焦點在x軸上的雙曲線；
（Ⅱ）由（I）知,當m=-1時,C1方程為x²+y²=a²,
當m∈（-1,0）∪（0,+∞）時,C2的焦點分別為F1（-a√﹙1+m﹚ ,0）,
F2（a √﹙1+m﹚,0）,
對于給定的m∈（-1,0）∪（0,+∞）,C1上存在點N（xο,yο）（yο≠0）,使得△F1NF2的面積S=|m|a²,
的充要條件為 xο+yο=a²① （1/ 2）* 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a² ②
由①得0＜|y0|≤a,由②得|y0|=|m|a√﹙ 1+m﹚ ,
當0＜|m|a / √﹙ 1+m﹚≤a,即﹙1- √5﹚/ 2 ≤m＜0,或0＜m≤﹙1+ √5﹚/ 2 時,
存在點N,使S=|m|a²,
當|m|a / √﹙ 1+m﹚ ＞a,即-1＜m＜﹙1- √5﹚/ 2,或m＞﹙1﹢√5﹚/ 2 時,不存在滿足條件的點N．
當m∈[﹙1- √5﹚/ 2 ,0）∪（0,﹙1﹢√5﹚/ 2 ]時,由 NF1 =（-a √﹙ 1+m﹚ -x0,-y0）,NF2 =（a√﹙ 1+m﹚ -x0,-y0）,
可得 NF1 • NF2 =xο²-（1+m）a²+yο²=-ma²．
令| NF1 |=r1,| NF2 |=r2,∠F1NF2=θ,
則由 NF1 • NF2 =r1r2cosθ=-ma²,可得r1r2=-ma² cosθ ,
從而s=½ r₁r₂sinθ=-ma²sinθ/ 2cosθ =-½ma²tanθ,于是由S=|m|a²,
可得-½ ma²tanθ=|m|a²,即tanθ=-2|m|/ m ,
綜上可得：當m∈[﹙1-√5﹚/ 2 ,0）時,在C1上存在點N,使得△F1NF2的面積S=|m|a²,且tanθ=2；
當m∈（0,﹙1﹢√5﹚/ 2 ]時,在C1上存在點N,使得△F1NF2的面積S=|m|a²,且tanθ=-2；
當(-1,﹙1-√5﹚/ 2 )∪(﹙1﹢√5﹚/ 2 ,+∞)時,不存在滿足條件的點N．