設(shè)Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c
結(jié)論是：內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2
證明方法一般有兩種：
方法一：
如圖設(shè)內(nèi)切圓圓心為O,三個(gè)切點(diǎn)為D、E、F,連接OD、OE
顯然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE
所以四邊形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r,BE＝a－r,
因?yàn)锳D＝AF,CE＝CF
所以AF＝b－r,CF＝a－r
因?yàn)锳F＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2
即內(nèi)切圓直徑L＝a＋b－c
方法二：
如圖設(shè)內(nèi)切圓圓心為O,三個(gè)切點(diǎn)為D、E、F,連接OD、OE、OF,OA、OB、OC
顯然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因?yàn)閍^2＋b^2＝c^2
所以內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2
即內(nèi)切圓直徑L＝a＋b－c