證明必要性：F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) 恒成立,將等式兩端對 t 進(jìn)行求導(dǎo)得 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = kt^(k-1)F(x,y,z) ,令 t = 1 即可得結(jié)論 xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) ,到此處必要性證明完畢.
證明充分性：xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) 恒成立,將等式中的 x ,y ,z 分別以 tx ,ty ,tz 代換后等式仍然成立,即 txF_x (tx,ty,tz) + tyF_y (tx,ty,tz) + tzF_z (tx,ty,tz) = kF(tx,ty,tz) 成立 ,將等式左邊的 t 提取出來得 t[xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz)] = kF(tx,ty,tz) .等式左邊的中括號中的式子恰好是 F(tx,ty,tz) 對 t 到全導(dǎo)數(shù)的形式,即 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = d F（tx,ty,tz）/dt .于是可以將等式化為 t*d F（tx,ty,tz）/dt = kF(tx,ty,tz) ,解這個(gè)微分方程得 F（tx,ty,tz) = C*t^k （ 注：C為待定常數(shù) ）.令 t = 1 可得 C = F（x,y,z) ,將 C = F（x,y,z) 代回 F（tx,ty,tz) = C*t^k 即可得到結(jié)論 F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) ,到此充分性證畢 .
有啥不懂得等春節(jié)后再問我吧.我回老家過春節(jié),上不了網(wǎng)了啦!所以你再郁悶也得等著偶春節(jié)后再說啦!
另外再加點(diǎn)題外話.不得不說樓主很幸運(yùn)哪,今天晚上是我節(jié)前的最后一晚上網(wǎng)了,而且我是一個(gè)不在乎問題懸賞分?jǐn)?shù)只在乎問題是否有意思的人呢,否則樓主這樣超級考驗(yàn)對概念理解能力的題目怕是沒有人會回答的吧.
祝你春節(jié)愉快!