多元復(fù)合函數(shù)微分證明題
多元復(fù)合函數(shù)微分證明題
若函數(shù)u=F(x,y,z)滿足恒等式F(tx,ty,tz) =t^k F(x,y,z)(t>0),則稱F(x,y,z)為k次齊次函數(shù).試證下述關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理：可微函數(shù)F(x,y,z)為k次齊次函數(shù)的充要條件是：
xF_x (x,y,z)+yF_y (x,y,z)+zF_z (x,y,z)=kF(x,y,z)
若函數(shù)u=F(x,y,z)滿足恒等式F(tx,ty,tz) =t^k F(x,y,z)(t>0),則稱F(x,y,z)為k次齊次函數(shù).試證下述關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理：可微函數(shù)F(x,y,z)為k次齊次函數(shù)的充要條件是：
xF_x (x,y,z)+yF_y (x,y,z)+zF_z (x,y,z)=kF(x,y,z)
數(shù)學(xué)人氣：761 ℃時間：2020-02-27 17:58:06
優(yōu)質(zhì)解答
證明必要性：F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) 恒成立,將等式兩端對 t 進行求導(dǎo)得 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = kt^(k-1)F(x,y,z) ,令 t = 1 即可得結(jié)論 xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (...
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