[1]首先說說連續(xù)性,其實很簡單,就是從圖象上來看,函數(shù)所代表的曲線是連續(xù)的,不被間斷的.對于分段函數(shù),要嚴整連續(xù)性的方法就是看在明確的分段點處,該函數(shù)的左右極限是否相等.對于本題,就是看在x=0點處,這個函數(shù)的左右極限是不是為0.那么由于f(x)=x²sin(1/x),知當x→0時,x²是無窮小量,而sin(1/x)為有界函數(shù),那么因為有界函數(shù)與無窮小的積是無窮小,所以該函數(shù)在x→0時的極限是0,于是可知該函數(shù)連續(xù).
[2]再看看可導性.這里要從導數(shù)的定義來看.要使函數(shù)可導,就必須使函數(shù)在任何一個定義點上可導,對于分段函數(shù)來說,可導的關鍵在于分段點處.對于本題,首先明白的是在x不為0時,函數(shù)是f(x)=x²sin(1/x),該函數(shù)可導,那么要使整個分段函數(shù)可導的矛盾就在于x=0的情況了.我們來驗證下在x=0時函數(shù)的可導性:
f'(0)=lim{[f(x)-f(0)]/[x-0]}=lim{[x²sin(1/x)]/x}=limxsin(1/x)該極限也是有界函數(shù)與無窮小的積的形式,故極限為0,那么可導.