橢圓x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的內(nèi)接等腰三角形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,b),其底邊BC上的高在y軸上,若ΔABC的面積不超過(3/2)•b²,求其離心率的范圍.

其他人氣：535 ℃時間：2020-09-30 21:56:17

優(yōu)質(zhì)解答

根據(jù)底邊BC上的高在y軸上,則底邊平行于X軸
設(shè)BC所在直線方程為y=m,則B、C橫坐標(biāo)分別為-a√(1-m²/b²),a√(1-m²/b²)
則三角形面積為S=1/2*(b-m)*2a√(1-m²/b²)=a(b-m)√(1-m²/b²)
將（b-m）放到根號里,得S=a√(-m^4/ b²+2m^3/ b²-2bm+ b²)
設(shè)f(m)=-m^4/ b²+2m^3/ b²-2bm+ b²,求此函數(shù)的最大值
f’(m)=-4m^3/ b²+6m2/b-2b
另f’(m)=0,得
m=b或m=-b/2
m=b時取最小值,為0；m=-b/2時取最大值
代入得,S=(3√3)ab/4
S≤(3/2)•b²
最后得0