知道等式det(E+xy^T)=1+y^Tx嗎?其中E是單位陣,y^T表示列向量y的轉(zhuǎn)置.有了這個等式,則det(A+yx^T)=det(A(E+A^(-1)yx^T))=det(A)det(E+A^(-1)yx^T)=det(A)(1+x^TA^(-1)y)＝det(A)+x^TA^(-1)y det(A),化簡就是要證不等式.我不知道你說的是什么矩陣論，不過可以自己證明一下啊。在y的正交補空間中取一個正交基v1 v2....，v(n-1)，則(E+xy^T)vi=vi，1<=i<=n-1（*）。分情況討論：若x與y不正交，則由(*)式知E+xy^T有n－1個1作為特征值，另外(E+xy^T)x=x+xy^Tx=(1+y^Tx)x，因此1+y^Tx是一個特征值，對應特征向量是x。綜上知E+xy^T的特征值是n－1個1，一個1+y^Tx，因此行列式為1+y^Tx。若x與y正交，則v1 v2，....，v(n-1) y是R^n的一個基，且(E+xy^T)y=y+y^Tyx，注意y^Tyx可由v1，v2，...，v(n-1)線性表出，因此可設y^Ty^x=k1v1+...+k(n-1)v(n-1)，并記P＝【v1 v2 ....v(n-1) y】，則(E+xy^T)P=【(E+xy^T)v1.... （E+xy^T)y】=【v1 v2....y】【e1 e2 .....e(n-1) p】，其中ei是單位陣的第i列，p－【k1 k2 ....k(n-1)1】^T，即(E+xy^T)P=P【e1 e2 .....e(n-1) p】因此E+xy^T與【e1 e2 .....e(n-1) p】相似，行列式相等，都是1，于是det(E+xy^T)=1+y^Tx。兩種情況結(jié)論都成立。