導(dǎo)數(shù)的存在和連續(xù)在條件上有什么區(qū)別?你指的是導(dǎo)數(shù)存在與導(dǎo)數(shù)連續(xù)的區(qū)別?那與“函數(shù)在一點(diǎn)有函數(shù)值”和“函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)”的區(qū)別是一樣的
你舉的例子是f(x)＝
0,x＝0
x^a×sin(1/x),x≠0
在x＝0處,[f(x)-f(0)]/x＝x^(a-1)×sin(1/x),當(dāng)x→0時(shí),此極限要存在,必須是a-1＞0,即a＞1,得f'(0)＝0
這時(shí)候,在x≠0處,f'(x)＝ax^(a-1)sin(1/x)－x^(a-2)cos(1/x),很明顯如果只有條件a＞1,lim(x→0) f'(x) ＝ －lim(x→0) x^(a-2)cos(1/x)不一定存在,所以f'(x)在x＝0處不一定連續(xù).
如果f'(x)在x＝0處連續(xù),則lim(x→0) f'(x) ＝ －lim(x→0) x^(a-2)cos(1/x)＝0,所以a-2＞0,得a＞2