用 A* 表示矩陣 A 的共軛轉(zhuǎn)置,其余同.
必要性：設(shè) AB 是正定矩陣,則
AB = (AB)* = B*A* = BA.
充分性：設(shè) AB = BA,則我們已看到
AB = BA = B*A* = (AB)*
即 AB 是 Hermite 矩陣,下面只需證它的特征值都是正的.實(shí)際上,存在可逆矩陣 Q 使得
A = QQ*
因此
(Q逆) AB Q = Q* BQ = S
即 AB 相似于 S = Q*BQ,因此AB的特征值就是 S的特征值,而顯然 S 是正定的,它的特征值都是正數(shù).