高中高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)
第一章 集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素.
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性
說明：(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.
3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列舉法與描述法.
注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N
正整數(shù)集N*或 N+ 整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬于集合A 記作 a?A
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上.
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分類：
1．有限集 含有有限個元素的集合
2．無限集 含有無限個元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2．“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1} “元素相同”
結(jié)論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即：A=B
① 任何一個集合是它本身的子集.AíA
②真子集:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
④ 如果AíB同時 BíA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三、集合的運算
1．交集的定義：一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．
記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．
2、并集的定義：一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作：A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．
3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補集
（1）補集：設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集（即 ）,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集（或余集）
記作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
S

CsA

A

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示.
（3）性質(zhì)：⑴CU(C UA)=A⑵(C UA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作： y=f(x),x∈A．其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域．
注意：2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．
定義域補充
能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域.)
構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關(guān)例2)
值域補充
(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).
3. 函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象．
C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成.
(2) 畫法
A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）
常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路.提高解題的速度.
發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤.
4．快去了解區(qū)間的概念
（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．
5．什么叫做映射
一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個映射.記作“f：A B”
給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
說明：函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”,即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說,則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.
常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：
1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函數(shù)值.列表法：便于查出函數(shù)值.圖象法：便于量出函數(shù)值
補充一：分段函數(shù) （參見課本P24-25）
在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù).在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式.分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集．
補充二：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù).
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函數(shù)單調(diào)性
（1）．增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1