高中數(shù)學(xué)必修2知識點
一、直線與方程
（1）直線的傾斜角
定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°
（2）直線的斜率
①定義：傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即 .斜率反映直線與軸的傾斜程度.
當(dāng) 時, ； 當(dāng) 時, ；當(dāng) 時, 不存在.
②過兩點的直線的斜率公式：
注意下面四點：(1)當(dāng) 時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°；
(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到.
（3）直線方程
①點斜式： 直線斜率k,且過點
注意：當(dāng)直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1.
當(dāng)直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式： ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b
③兩點式： （ ）直線兩點 ,
④截矩式：
其中直線 與 軸交于點 ,與 軸交于點 ,即 與 軸、 軸的截距分別為 .
⑤一般式： （A,B不全為0）
注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：
平行于x軸的直線： （b為常數(shù)）；平行于y軸的直線： （a為常數(shù)）；
（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線
（一）平行直線系
平行于已知直線 （ 是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C為常數(shù)）
（二）垂直直線系
垂直于已知直線 （ 是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C為常數(shù)）
（三）過定點的直線系
（?。┬甭蕿閗的直線系： ,直線過定點 ；
（ⅱ）過兩條直線 , 的交點的直線系方程為
（ 為參數(shù)）,其中直線 不在直線系中.
（6）兩直線平行與垂直
當(dāng) , 時,
；
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.
（7）兩條直線的交點
相交
交點坐標(biāo)即方程組 的一組解.
方程組無解；方程組有無數(shù)解與 重合
（8）兩點間距離公式：設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點,
則
（9）點到直線距離公式：一點 到直線 的距離
（10）兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點,再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解.
二、圓的方程
1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑.
2、圓的方程
（1）標(biāo)準(zhǔn)方程 ,圓心 ,半徑為r；
（2）一般方程
當(dāng) 時,方程表示圓,此時圓心為 ,半徑為
當(dāng) 時,表示一個點；當(dāng) 時,方程不表示任何圖形.
（3）求圓方程的方法：
一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求.確定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
需求出a,b,r；若利用一般方程,需要求出D,E,F；
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點,以此來確定圓心的位置.
3、直線與圓的位置關(guān)系：
直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況：
（1）設(shè)直線 ,圓 ,圓心 到l的距離為 ,則有 ； ；
（2）過圓外一點的切線：①k不存在,驗證是否成立②k存在,設(shè)點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差）,與圓心距（d）之間的大小比較來確定.
設(shè)圓 ,
兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差）,與圓心距（d）之間的大小比較來確定.
當(dāng) 時兩圓外離,此時有公切線四條；
當(dāng) 時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條；
當(dāng) 時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線；
當(dāng) 時,兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點,只有一條公切線；
當(dāng) 時,兩圓內(nèi)含； 當(dāng) 時,為同心圓.
注意：已知圓上兩點,圓心必在中垂線上；已知兩圓相切,兩圓心與切點共線
圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
（1）棱柱：
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.
（2）棱錐
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.
（3）棱臺：
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形.
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成
幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形.
（6）圓臺：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成
幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形.
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑.
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、
俯視圖（從上向下）
注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度.
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半.
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和.
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長,h為高, 為斜高,l為母線）



（3）柱體、錐體、臺體的體積公式


（4）球體的表面積和體積公式：V =； S =
4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系
公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi).
應(yīng)用： 判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號語言表示公理1：
公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交,交線是a,記作α∩β＝a.
符號語言：
公理2的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法.
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點.
③它可以判斷點在直線上,即證若干個點共線的重要依據(jù).
公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面.
公理3及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行
空間直線與直線之間的位置關(guān)系
① 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線
② 異面直線性質(zhì)：既不平行,又不相交.
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直.
求異面直線所成角步驟：
A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點選在特殊的位置上. B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補.
（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點．
三種位置關(guān)系的符號表示：a α a∩α＝Aa‖α
（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點；α‖β
相交——有一條公共直線.α∩β＝b
5、空間中的平行問題
（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.
線線平行 線面平行
線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,
那么這條直線和交線平行.線面平行 線線平行
（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個平面平行的判定定理
（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行
（線面平行→面面平行）,
（2）如果在兩個平面內(nèi),各有兩組相交直線對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行.
（線線平行→面面平行）,
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行,
兩個平面平行的性質(zhì)定理
（1）如果兩個平面平行,那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行.（面面平行→線面平行）
（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交,那么它們的交線平行.（面面平行→線線平行）
7、空間中的垂直問題
（1）線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.
②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直.
③平面和平面垂直：如果兩個平面相交,所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角）,就說這兩個平面垂直.
（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個平面.
性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.
②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.
性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.
9、空間角問題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規(guī)定為 .
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角.
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線 ,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 .②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 .
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作,二證,三計算”.
在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線,
在解題時,注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線.
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個平面垂直；反過來,如果兩個平面垂直,那么所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關(guān)點,過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角